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最終更新日: 2010年8月31日
本講義は東北大学グローバルＣＯＥ「物質階層を紡ぐ科学フロンティアの新展開」の融合教育科目です．
◎授業の目的と概要： 生物の発生過程における形態形成や赤血球膜の形状などの数理モデルは，非常に複雑な生命現象を支配する物理的仕組みを表現するた めに提唱されている．ひとたび微分方程式として表現されれば，それは数学の研究対象でもある．数理モデルについての数学的理解が 進めば，生命現象の理解も深まり，また，逆に理論的予想を立てることも可能になる．本講義は，反応拡散系によるパターン形成の理 論への入門として，基本的諸概念と，解析方法である分岐理論，特異摂動法などの枠組みを例を通して解説する．さらに，赤血球膜の 形態変換など，膜の形状を変分問題として定式化し，勾配流について考察する． ◎学習の到達目標： * 拡散誘導不安定化について定量的に理解する． * 分岐理論の基礎，特異摂動法の基礎を習得する． * 幾何学的変分問題とその勾配流について理解する． ◎授業の内容・方法と進度予定： 以下の内容について，簡単な方程式を例に基本的な考えを解説する． １．半線型放物型偏微分方程式に対する初期−境界値問題 ２．定常解の安定性と分岐現象 ３．特異摂動定常解の構成と安定性 ４．超微速運動 ５．膜の形態変換：変分問題と勾配流 教科書および参考書： 教科書は用いない．参考書として，以下のものを挙げておく．他にも良書は多い．講義中随時紹介する． [1] James D. Murray, "Mathematical Biology I. An Introduction", "Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications", Third Edition, Springer, 2002, 2003. [2] Louis Nirenberg, "Topics in Nonlinear Functional Analysis", Courant Institute, 1973, also American Mathematical Society, 2001. [3] Joel Smoller, "Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations", Second Edition, Springer-Verlag, 1994. [4] Eberhard Zeidler, "Applied Functional Analysis", Springer 1995. 成績評価の方法： 課題レポートもしくは口頭試問による． その他： ＊講義終了後に質問を受け付ける時間帯を設ける．
to top of the pageMathematical models of biological pattern formation
Hours: from 10:30 to 12:10 on every Thursday From October 7, 2010 to January 27, 2011 Classroom: RM 801 of Godoto Building Synopsis: This series of lectures is intended as an introduction to the mathematical analysis of reaction-diffusion systems in developmental biology and a geomeric variational problem concerning the shape transformation of lipid bilayer membrane. Goal: * To understand quantitatively the mechanism of diffusion-driven instability. * To learn basics of bifurcation theory and singular perturbation methods. * To understand basics of geometric variational problems and their gradient flows. Contents: 1. Existence of solutions of the initial-boundary value problem for nonlinear parabolic partial differential equations (three lectures) 2. Stability of stationary solutions and bifurcation (three lectures) 3. Stationary solutions with singular perturbation (three lectures) 4. Very slow motion of interfaces (three lectures) 5. Shape transformation of bilayer membranes: variational problems and gradient flows (three lectures) References: There are many good monographs. To name a few: [1] James D. Murray, "Mathematical Biology I. An Introduction", "Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications", Third Edition, Springer, 2002, 2003. [2] Louis Nirenberg, "Topics in Nonlinear Functional Analysis", Courant Institute, 1973, also American Mathematical Society, 2001. [3] Joel Smoller, "Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations", Second Edition, Springer-Verlag, 1994. [4] Eberhard Zeidler, "Applied Functional Analysis", Springer 1995. Evaluation： homework projects or oral examination Other Remarks: - Prerequisits: (i) Basics on the theory of ordinary differential equations such as the existence and uniqueness of a solution of the initial value problem, presented in the monograph "Differential Equations and Their Applications" Fourth Edition by Martin Braun, Springer-Verlag, 1992 (ii) Foundamentals on the functional analysis presented, e.g., in [4]. - Office hours: after the lecture
---application of the theory of nonlinear partial differential equations